La ley de Cosenos
Deducción del teorema del coseno o ley de cosenos para la resolución de triángulos no rectángulos
Se muestra como se deduce el teorema y en que casos de aplica. Dicha deducción se hace a partir del uso de la geometría analítica mediante el uso de la fórmula de distancia entre dos puntos
considerando primero un triángulo acutángulo y luego uno obtusángulo
En este video se explicara y realizará la demostración del teorema del coseno, este teorema nos permite resolver problemas que involucren razones trigonométricas en triángulos que no sean
rectángulos. El teorema del coseno nos dice que la magnitud al cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las magnitudes de los otros dos menos el producto entre las magnitudes de
esos otros dos lados y el coseno del ángulo comprendido entre esas dos magnitudes. Entonces matemáticamente expresaremos el teorema del coseno de la siguiente manera para cada uno de los lados
del triángulo a^2=b^2+c^2-2bccosA, b^2=a^2+c^2-2accosB,c^2=a^2+b^2-2abcosC. Para demostrar este teorema ubicamos el lado c sobre el sistema de coordenadas tal cual se muestra en el video,
entonces las coordenadas para los puntos A,B,C son (0,0),(c,0)(bcosA,bsenA) respectivamente.
La magnitud del lado a o segmento CB se puede encontrar aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, en este caso entre el punto C y el punto B, es decir
a=d_BC=√((bcosA-c)^2-(bsenA-0)^2 ), al efectuar las restas de cuadrados la ecuación queda de la siguiente manera a=d_BC=√(b^2cos^2 A-2bccosA-c^2+b^2sen^2A), aplicando la identidad fundamental y
luego elevando la ecuación al cuadrado, vemos que la expresión llega a la forma que queríamos demostrar para encontrar la magnitud al cuadrado del lado a, es decir se demuestra el teorema del
coseno para el lado a. Siguiendo el mismo procedimiento se pueden llegar a las expresiones para hallar las magnitudes al cuadrado de los lados b y c del triángulo y demostrar el teorema del
coseno para estos lados. Debemos notar que esta demostración se realizó en un triángulo acutángulo y que en el video se muestra también la demostración para un triángulo obtusángulo.
